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Em 1850, um reverendo ingl\u00eas publicou um problema que se tornou um dos cl\u00e1ssicos da matem\u00e1tica recreativa. ‘Parece um quebra-cabe\u00e7as, um enigma, mas por tr\u00e1s h\u00e1 aspectos muito profundos’, diz estudioso. Enigma chamou a aten\u00e7\u00e3o de diversos matem\u00e1ticos reconhecidos
\nGetty Images\/BBC
\nImagine que seu t\u00e3o esperado aumento de sal\u00e1rio depende de voc\u00ea fazer apenas uma coisa.
\nSua chefe est\u00e1 organizando um congresso e confirmou a presen\u00e7a de sete grandes especialistas que v\u00e3o debater entre si em mesas redondas. E ela pede a voc\u00ea que cada mesa tenha apenas tr\u00eas debatedores.
\nAt\u00e9 aqui, tudo bem, certo? J\u00e1 est\u00e1 visualizando sua conta banc\u00e1ria?
\nMas, durante a conversa com os debatedores, voc\u00ea descobre um detalhe: eles s\u00e3o os melhores nas suas \u00e1reas, mas n\u00e3o se d\u00e3o bem entre si \u2014 e cada um, \u00e0 sua maneira, imp\u00f5e uma condi\u00e7\u00e3o:
\n“Posso participar das mesas como for necess\u00e1rio, mas quero estar presente com cada um dos outros seis convidados apenas uma vez, nem mais, nem menos.”
\n Parece dif\u00edcil, mas n\u00e3o se desespere.
\nO que a sua chefe est\u00e1 pedindo \u00e9 muito semelhante \u00e0 quest\u00e3o formulada pelo matem\u00e1tico brit\u00e2nico Thomas Kirkman em 1850 \u2014 conhecida como problema das colegiais.
\nCom a ajuda do professor de matem\u00e1tica Ra\u00fal Ib\u00e1\u00f1ez, da Universidade do Pa\u00eds Basco, na Espanha, vamos te contar do que se trata.
\n“O problema das colegiais fascina as pessoas h\u00e1 muito tempo. Parece um quebra-cabe\u00e7a, um enigma, mas tem aspectos muito profundos por tr\u00e1s dele”, afirma Ib\u00e1\u00f1ez, que \u00e9 divulgador cient\u00edfico e autor de diversos livros e artigos sobre matem\u00e1tica. Um de seus livros dedica um cap\u00edtulo a esse problema.
\n“Parece f\u00e1cil, mas \u00e9 intrinsecamente muito complicado, e sua resolu\u00e7\u00e3o nem sempre \u00e9 simples”, afirma o professor.
\n Teoria de grupos
\nKirkman nasceu em Manchester, na Inglaterra, em 1806.
\nUm professor observou na escola que ele tinha potencial para ser aceito na Universidade de Cambridge, mas seu pai tinha outros planos.
\nThomas Kirkman estudou no hist\u00f3rico Trinity College, em Dublin, na Irlanda
\nUniversal Images Group via Getty Images\/BBC
\n“Thomas foi obrigado a abandonar a escola aos 14 anos e ir trabalhar no escrit\u00f3rio do pai”, conforme contam, em uma breve biografia, os professores John Joseph O’Connor e Edmund Frederick Robertson, da Universidade de St. Andrews, no Reino Unido.
\n“Depois de nove anos trabalhando no escrit\u00f3rio, Thomas contrariou os desejos do pai e entrou para o Trinity College de Dublin, na Irlanda, para estudar matem\u00e1tica, filosofia, os cl\u00e1ssicos e ci\u00eancias, a fim de obter uma licenciatura”, dizem os professores.
\nEm 1835, Kirkman voltou para a Inglaterra e, quatro anos depois, se tornou vig\u00e1rio de uma par\u00f3quia da Igreja Anglicana, ocupando o cargo por 52 anos. Casou-se e teve tr\u00eas filhos.
\nComo indicou Robin Wilson, professor em\u00e9rito de matem\u00e1tica pura da Open University, no Reino Unido, no artigo The Early History of Block Designs (“A hist\u00f3ria inicial dos desenhos de blocos”, em tradu\u00e7\u00e3o livre), os deveres paroquiais de Kirkman “ocupavam pouco do seu tempo”.
\nPor isso, o reverendo “concentrava muitos esfor\u00e7os nas suas pesquisas matem\u00e1ticas, especialmente em temas de \u00e1lgebra e an\u00e1lise combinat\u00f3ria”.
\nOs sistemas triplos
\nEm 1846, Kirkman apresentou seu primeiro artigo, com o t\u00edtulo On a Problem in Combinations (“Sobre um problema de combina\u00e7\u00f5es”, em tradu\u00e7\u00e3o livre). Ele foi publicado em 1847, na revista Cambridge and Dublin Mathematical Journal.
\nO artigo \u00e9 considerado pioneiro do sistema triplo de Steiner, v\u00e1rios anos antes da sua apresenta\u00e7\u00e3o pelo ge\u00f4metra su\u00ed\u00e7o Jakob Steiner (1796-1863), considerado um dos mais importantes do s\u00e9culo 19.
\nO matem\u00e1tico su\u00ed\u00e7o Jakob Steiner nasceu em 1796 e morreu em 1863
\nUniversal Images Group via Getty Images\/BBC
\n“Talvez esses sistemas triplos devessem ter sido chamados sistemas de Kirkman, j\u00e1 que ele foi o primeiro a public\u00e1-los”, afirma Ib\u00e1\u00f1ez.
\nAo longo da sua carreira, Kirkman aprofundou-se na teoria de grupos e deixou importantes contribui\u00e7\u00f5es para a an\u00e1lise combinat\u00f3ria.
\nMatem\u00e1tica recreativa
\nKirkman publicou o problema das colegiais na revista The Lady’s and Gentleman’s Diary, dedicada a quest\u00f5es matem\u00e1ticas, enigmas e poesia.
\nO matem\u00e1tico ingl\u00eas Arthur Cayley \u00e9 considerado l\u00edder da escola brit\u00e2nica de matem\u00e1tica pura que surgiu no s\u00e9culo 19
\nSSPL via Getty Images\/BBC
\nEra um quebra-cabe\u00e7a, uma recrea\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica, apresentada desta forma:
\n“Quinze jovens estudantes saem para passear todos os dias da semana, de segunda a domingo, de forma ordenada, formando cinco filas de tr\u00eas colegiais cada uma. Como devemos organiz\u00e1-las todos os dias da semana para que nenhuma dupla de colegiais compartilhe a mesma fila por mais de um dia?”
\nEsta abordagem chamou a aten\u00e7\u00e3o de diversos matem\u00e1ticos reconhecidos, entre eles o brit\u00e2nico Arthur Cayley (1821-1895), que publicou rapidamente uma solu\u00e7\u00e3o. Kirkman apresentaria outra e, a partir de ent\u00e3o, surgiriam diversas resolu\u00e7\u00f5es.
\nKirkman idealizou o problema das colegiais exatamente enquanto escrevia seu artigo sobre os sistemas triplos.
\n“Temos n elementos, 1, 2, 3 at\u00e9 n, e a ideia \u00e9 criar cole\u00e7\u00f5es de tr\u00eas n\u00fameros deste conjunto, chamadas de blocos, de forma que cada par de elementos apare\u00e7a exatamente em um trio”, explica Ib\u00e1\u00f1ez.
\nO que Kirkman pede no seu problema \u00e9 que, para 15 pessoas ou elementos, possamos desenvolver um sistema triplo separado em sete grupos (um para cada dia da semana), de forma que, em cada um deles, estejam todos os elementos \u2014 no caso, as colegiais.
\nOs quadrados de Room
\nCayley \u00e9 considerado um dos fundadores da escola brit\u00e2nica de matem\u00e1tica pura, que surgiu no s\u00e9culo 19.
\nEm 1850, ele decidiu prestar aten\u00e7\u00e3o ao problema das 15 colegiais e chegou a uma solu\u00e7\u00e3o por meio do que hoje \u00e9 conhecido como quadrados de Room \u2014 que viriam a ser documentados pelo matem\u00e1tico australiano Thomas Gerald Room (1902-1986).
\nO professor explica que, em um quadrado de Room, temos n 1 s\u00edmbolos.
\nImagine 8 n\u00fameros, de 1 a 8.
\nComo escolhemos oito s\u00edmbolos, fazemos uma tabela de 7×7: sete linhas e sete colunas.
\nMas \u00e9 preciso atender a tr\u00eas condi\u00e7\u00f5es:
\nCada quadrado est\u00e1 vazio ou tem um par de n\u00fameros. Por exemplo, um quadrado pode ter 35, outro pode ter 86, outro pode ter o 13 ou n\u00e3o ter nada.
\nCada s\u00edmbolo aparece uma \u00fanica vez em cada linha e em cada coluna. Se pegarmos uma linha, por exemplo, o 1 aparecer\u00e1 em um dos quadrados, o 2 em outro e assim at\u00e9 o 8. Nas colunas, ocorre a mesma coisa, mas aparecer\u00e3o formando um par de n\u00fameros.
\nCada par n\u00e3o ordenado de s\u00edmbolos aparece uma \u00fanica vez. O par 12, por exemplo, aparece uma \u00fanica vez em toda a tabela, o 13 aparece uma \u00fanica vez, e assim at\u00e9 o final, at\u00e9 o par 78.
\nUm exemplo seria este:
\nIlustra\u00e7\u00e3o dos quadrados de Room
\nRA\u00daL IB\u00c1\u00d1EZ\/BBC
\nO que Cayley fez foi usar esse tipo de quadrado de Room e combin\u00e1-lo com os sistemas triplos, que Kirkman j\u00e1 estava estudando, para chegar a uma solu\u00e7\u00e3o para o problema das colegiais.
\nCayley distribuiu as 15 estudantes da seguinte forma: ele indicou as sete primeiras com letras de “a” at\u00e9 “g”, e as outras oito com n\u00fameros, de 1 a 8.
\nOs n\u00fameros servem para formar um quadrado de Room, conforme ilustrado acima, e as letras para fazer sistemas triplos de ordem sete, como este:
\nOs n\u00fameros servem para formar um quadrado de Room, conforme ilustrado acima, e as letras para fazer sistemas triplos de ordem sete
\nRA\u00daL IB\u00c1\u00d1EZ\/BBC
\nEsses trios s\u00e3o colocados \u00e0 esquerda do quadrado de Room, desta forma:
\nVers\u00e3o final dos quadrados de Room, com n\u00fameros e letras
\n RA\u00daL IB\u00c1\u00d1EZ\/BBC
\nA solu\u00e7\u00e3o
\nA partir dessa estrutura, surge uma solu\u00e7\u00e3o.
\nVamos transpor o quadro para as 15 colegiais e os sete dias em que elas saem para passear.
\nMas antes, vamos dar nomes \u00e0s letras e aos n\u00fameros da tabela de Cayley:
\na=Ana
\nb=Bia
\nc=Carol
\nd=Diana
\ne=Emma
\nf=Fany
\ng=Gina
\n1=Maria
\n2=Katy
\n3=Yeny
\n4=Lola
\n5=Sofia
\n6=Gabi
\n7=Pili
\n8=Yoli
\n A solu\u00e7\u00e3o vem do quadrado de letras e n\u00fameros mais acima. Cada linha desse quadrado nos fornece os grupos de tr\u00eas estudantes de cada um dos sete dias da semana.
\nOu seja, na segunda-feira \u00e9 abc, d35, e17, f82 e g64. A solu\u00e7\u00e3o, com nossas estudantes, seria esta:
\nGr\u00e1fico com a solu\u00e7\u00e3o
\nRA\u00daL IB\u00c1\u00d1EZ\/BBC
\nA arte da an\u00e1lise combinat\u00f3ria
\nTanto Kirkman quanto Cayley “sabiam que havia algo profundo por tr\u00e1s desse problema e, por isso, dedicaram-se a ele”.
\nEnigma chamou a aten\u00e7\u00e3o de diversos matem\u00e1ticos reconhecidos
\nGetty Images via BBC
\n“A an\u00e1lise combinat\u00f3ria \u00e9 a arte de selecionar ou ordenar os elementos de um certo conjunto” \u2014 e isso \u00e9 precisamente o que Cayley nos mostra com sua solu\u00e7\u00e3o. O problema das colegiais \u00e9 de organiza\u00e7\u00e3o.
\n“As estudantes e como agrup\u00e1-las para ir ao col\u00e9gio em cada dia s\u00e3o uma met\u00e1fora de estrutura matem\u00e1tica, na verdade, combinat\u00f3ria, que pode ser usada em muitos outros aspectos da nossa vida”, afirma Ib\u00e1\u00f1ez.
\n“Este \u00e9 o motivo pelo qual a matem\u00e1tica \u00e9 abstrata \u2014 para que ela seja uma ferramenta que possa ser utilizada em contextos muito diferentes, como a f\u00edsica, biologia, qu\u00edmica ou medicina.”
\nSegundo ele, a matem\u00e1tica que interv\u00e9m no problema das colegiais \u00e9 parte de todo um ramo que \u00e9 fundamental na teoria de c\u00f3digos e criptografia, planejamento, geometria, projetos de experimentos estat\u00edsticos, teoria da computa\u00e7\u00e3o e redes de comunica\u00e7\u00e3o.
\n“Tudo o que surge da tentativa de solucionar um quebra-cabe\u00e7a acabou se convertendo em duas teorias matem\u00e1ticas: os sistemas triplos de Steiner e a teoria de desenho de blocos, ambas com muitas aplica\u00e7\u00f5es pr\u00e1ticas”, afirma Ib\u00e1\u00f1ez.
\nIsso acontece porque a matem\u00e1tica “n\u00e3o se contenta” com solucionar o problema.
\n“Em alguns casos, como este, ela tamb\u00e9m observa quantas formas distintas de solu\u00e7\u00e3o existem. E, para o problema das colegiais de Kirkman, demonstrou-se, no in\u00edcio do s\u00e9culo 20, que havia 80 solu\u00e7\u00f5es distintas.”
\nO problema que gera mais problemas
\nAs colegiais tamb\u00e9m fizeram surgir novos problemas.
\n“Outra pr\u00e1tica habitual na ci\u00eancia de Pit\u00e1goras \u00e9 expor o problema de forma mais geral”, diz Ib\u00e1\u00f1ez.
\nMartin Gardner, considerado um mestre da matem\u00e1tica recreativa, popularizou o problema dos 9 prisioneiros, idealizado por Henry Ernest Dudeney com base nas colegiais de Kirkman
\nGetty Images\/BBC
\n“Por isso, o problema das colegiais foi proposto para grupos com outras quantidades de estudantes.”
\nA solu\u00e7\u00e3o para todos os casos s\u00f3 chegou em 1968, quando os matem\u00e1ticos Ray-Chaudhuri e R. M. Wilson publicaram a “solu\u00e7\u00e3o completa para o caso geral”.
\nAinda assim, o problema continua em aberto, pois os sistemas triplos de Steiner ou, de forma mais geral, o desenho de blocos s\u00e3o um ramo “muito ativo” da matem\u00e1tica.
\n“Um quebra-cabe\u00e7a como este, que, em princ\u00edpio, era uma quest\u00e3o pequena, tornou-se uma teoria com centenas de problemas abertos, pesquisas, artigos e livros”, afirma Ib\u00e1\u00f1ez.
\nE, enquanto tentavam resolv\u00ea-lo, muitos matem\u00e1ticos usaram e desenvolveram t\u00e9cnicas diferentes.
\nO matem\u00e1tico americano Martin Gardner, por exemplo, publicou na revista Scientific American uma solu\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica para o problema das colegiais: um c\u00edrculo, com n\u00fameros e tri\u00e2ngulos sobre ele, que oferece uma resposta diferente \u00e0 medida que \u00e9 girado.
\nVoltando \u00e0 quest\u00e3o que poderia te dar o desejado aumento de sal\u00e1rio, a resposta \u00e9 designar um n\u00famero para cada um dos convidados e criar um sistema triplo, que levar\u00e1, por exemplo, a sete mesas:
\nGr\u00e1fico com solu\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica
\nRA\u00daL IB\u00c1\u00d1EZ\/BBC
\nE, se voc\u00ea quiser agradecer a algu\u00e9m pelo merecido aumento de sal\u00e1rio, sem d\u00favida os agradecimentos v\u00e3o para Thomas Kirkman e, claro, para o professor Ib\u00e1\u00f1ez.
\n*Gr\u00e1ficos: Manuella Bonomi e Ana Luc\u00eda Gonz\u00e1lez
\nEste texto foi publicado originalmente em https:\/\/www.bbc.com\/portuguese\/geral-63711028<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"